Es frecuente encontrar que en los grupos todos los elementos del grupo pueden ser generados por uno solo de sus elementos. Repasemos la “tabla de multiplicar” del grupo de rotaciones del triángulo equilátero con la cual tuvimos la oportunidad de introducirnos al lenguaje de la simetría en la entrada “Matemáticas sin números”:
Un momento de reflexión nos hará ver que la rotación de 240 grados dada triángulo equilátero por la operación Q en realidad se puede considerar como una rotación de 120 grados (la operación P) aplicada dos veces, o sea que:
Q = P ° P = P²
Si en la tabla hacemos P.=.a y Q.=.P².=.a², tendremos la siguiente tabla simplificada:
Podemos ver que todo el grupo de rotaciones del triángulo equilátero puede ser generado por un solo elemento (el elemento a en este caso), al cual llamaremos el generador del grupo.
Cuando un grupo como el que acabamos de ver puede ser generado por un solo elemento, siempre es posible representar su acción mediante un esquema gráfico conocido como el grafo de Cayley (Cayley graph). En este caso, el grafo de Cayley será el siguiente:
Aquí confirmamos de una manera visual que el grupo de rotaciones del triángulo equilátero es un grupo cíclico.
En muchos casos, aunque un grupo no pueda ser generado por un solo elemento como lo acabamos de ver arriba, es posible que de cualquier modo pueda ser generado por una cantidad menor de elementos de los que aparecen en la tabla original. Tal es el caso del grupo diedro D3 cuya tabla de multiplicación se muestra a continuación:
En esta tabla, podemos ver que bastan tan solo dos elementos a y b para poder generar todos los elementos del grupo D3.
Basados en esta tabla, podemos construír para el grupo D3 el siguiente grafo Cayley:
A continuación, tomado de Internet, tenemos el siguiente grafo de Cayley para el grupo alternante de permutaciones A4:
Esto nos está diciendo que todos los elementos del grupo alternante de permutación A4 pueden ser generados con tan sólo dos elementos del mismo: el elemento (12)(34) y el elemento (123).
A continuación, tomado directamente de la Wikipedia, tenemos el siguiente grafo de Cayley para el grupo diedro D4:
Aunque las flechas en los grafos de Cayley nos indican cómodamente cómo se van generando los elementos de un grupo a partir de las operaciones representadas por dichas flechas, desafortunadamente en la literatura uno no siempre encuentra los grafos de Cayley construídos en una forma convencional. Ejemplo de ello es el siguiente grafo que muestra los vértices correspondientes al grupo del “cubo truncado” en los cuales están puestos los elementos del grupo de permutaciones S4 con el cual el grupo de “cubo truncado” es isomorfo:
El grafo de Cayley proporciona otra forma visual de poder analizar la forma en la cual se generan los elementos de un grupo y nos permite descubrir relaciones que no sería fácil visualizar de otra manera. Y en lo menos nos permite construír la “tabla de multiplicar” para cualquier grupo del cual tengamos a la mano su grafo.
