Matemáticas sin números

Quienes han estado acostumbrados toda su vida a usar números para todo desde que aprendieron en la escuela primaria a sumar, restar, multiplicar y dividir, tal vez les asombre saber que esta no es la única "aritmética" posible. Hay otros tipos de operaciones matemáticas que no usan números. Aquí comenzaremos la introducción a una de ellas. Aprenderemos el lenguaje de la simetría.

Por principio de cuentas, tenemos que definir una notación para nuestra nueva matemática sin números. Para ello, considérese algo que no puede ser representado con número alguno. Considérense las "operaciones" de ponerse los calcetines y ponerse los zapatos. Representemos cada una de ellas de la siguiente manera:

P = Ponerse los calcetines

Q = Ponerse los zapatos

Podemos hacer una combinación de estas operaciones, conviniendo para ello que una cadena sucesiva de operaciones se vaya escribiendo de izquierda a derecha. Puestos de acuerdo en esto, la operación binaria (llamada así porque combina a dos elementos) combinada

P ○ Q

se debe interpretar como "ponerse los calcetines primero, y ponerse los zapatos después" (el símbolo ○ se puede leer simplemente como "operación", con lo cual lo anterior se leería simbólicamente como "P operación Q"). Obsérvese que la siguiente operación:

Q ○ P

es una operación absurda, ilógica, porque implica ponerse primero los zapatos y después los calcetines. Esto demuestra una cosa: Las operaciones dentro de nuestra nueva matemática no es necesariamente conmutativa. Hay muchos casos en los que pueden serlo, pero este no es uno de ellos.

Para cada operación, siempre debe ser posible definir una operación inversa. Así como nos podemos poner los calcetines (P) también nos los podemos quitar. Representaremos esta operación inversa de la siguiente manera:

P ^-1

con un "exponente" de -1. Es importante aclarar desde el principio que esto no tiene absolutamente nada que ver con el mismo exponente utilizado en el álgebra tradicional, que para un número a, representa simplemente su recíproco:

a ^-1 = 1/a

Nuestra notación de aquí en adelante para un inverso es puramente simbólica, sin ninguna operación "aritmética" posterior interna implicada. De este modo, la siguiente secuencia de operaciones:

Q ^-1 ○ Q ○ P

nos producirá simplemente el siguiente efecto:

P

Aquí vemos que el efecto combinado de la operación:

Q ^-1 ○ Q

es dejar las cosas como están. Es una operación identidad, en forma similar a como actúa el número uno en la aritmética tradicional para la operación de multiplicación, en donde cualquier número multiplicado por el número uno nos produce el mismo número. Esta operación la representaremos con el símbolo I. El símbolo "I" que es la letra latina "i" mayúscula es utilizado en parte porque es la primera letra de la palabra "identidad", en parte porque se parece mucho al número uno con el cual comparte muchas propiedades, y en parte porque el uso de la letra "i" minúscula generalmente ya está reservado para representar la raíz cuadrada de -1, el símbolo de los números imaginarios, con lo cual el uso de la letra "i" para representar también al elemento identidad podría prestarse a confusiones cuando se manejan grupos en los que el número imaginario i es introducido como parte de los elementos de dichos grupos. (En muchos libros de texto, en lugar de usarse la letra I se utiliza la letra E mayúscula o la letra e minúscula, tomada de la primera letra de la palabra alemana Einheit que se traduce al español como "la unidad", siguiendo una costumbre de nomenclatura dejada por el físico-matemático Eugene Wigner.)

Obsérvese que las siguiente operaciones no están definidas:

P ○ P y Q○ Q

Pero esto se debe a que no son operaciones de simetría propiamente dichas.

A continuación consideraremos una operación de simetría, la más sencilla de todas. En ella, tomamos una recta AB, y la hacemos girar en el plano de modo tal que el punto A sea movido a la posición que ocupaba el punto B y el punto B sea movido a la posición que ocupaba el punto A, como se muestra a continuación:

Esta es una operación de simetría auténtica, porque si borramos las letras, no tendremos forma alguna de distinguir la línea de la izquierda de la línea de la derecha.

Obsérvese aquí que hemos identificado dos operaciones básicas: la operación I, la operación identidad, que dejará a la línea tal y como estaba, y la operación r, una operación de rotación que cambiará los puntos extremos de la línea.

Así como en la aritmética tradicional podemos representar el producto de dos números cualesquiera con una tabla de multiplicar, aquí también podemos usar el equivalente de una "tabla de multiplicar". Pero tenemos que ser muy cuidadosos en cómo interpretaremos dicha tabla, porque si bien en una multiplicación el orden de los factores no altera el producto (es lo mismo poner 5*3 que 3*5), ya hemos asentado que aquí el orden de las operaciones tendrá un efecto muy importante sobre el resultado final.

Convendremos en que, para nuestra "tabla de multiplicación" como la que se muestra a continuación, la operación puesta en la columna extrema izquierda es la operación que se efectúa primero, mientras que la operación puesta en el renglón superior es la operación que se efectúa después:

De este modo, para la tabla mostrada, la entrada que corresponde al renglón p y a la columna q es:

p _° q

que significa según lo que ya habíamos convenido "primero p y después q" o bien "p seguido de q". Trataremos de mantener este orden con el fin de concordar con la mayoría de la literatura matemática actual. Este tipo de "tabla de multiplicar" es también conocida como tabla Cayley, en honor al matemático inglés Arthur Cayley (1821-1895) quien fue quien la introdujo por vez primera en un trabajo suyo publicado en 1854 bajo el título "On the theory of groups". Como la definió por vez primera, el elemento identidad es escrito siempre correspondiendo al primer renglón y a la primera columna, costumbre que se sigue hasta nuestros días.

Regresando a la recta AB, la "tabla de multiplicar" que describe sus operaciones de simetría es la siguiente:

Obsérvese de la "tabla de multiplicación" que si aplicamos la operación r dos veces sucesivas, lo cual podemos representar simbólicamente como:

r² = r _° r

regresamos la línea a su posición original. Esto significa que:

r² = I

O, viéndolo de otra manera, r es su propio inverso.

Veamos ahora otra serie de operaciones, para un triángulo equilátero, sobre el cual con sólo girar la hoja sobre la cual está trazado podemos llevar a cabo las siguientes operaciones de simetría:

En la primera operación, la operación P, tomamos el triángulo equilátero y lo hacemos girar en sentido contrario a las manecillas del reloj un ángulo de 120 grados. En la segunda operación, la operación Q, tomamos el triángulo equilátero y lo hacemos girar en sentido contrario a las manecillas del relos un ángulo de 240 grados. Las operaciones posibles se pueden representar mediante una "tabla de multiplicar" como la siguiente:






Ahora bien, si representamos al triángulo equilátero en su posición original con las letras ordenadas ABC, y si lo representamos habiendo girado de su posición original un ángulo de 120 grados con las letras CAB, y si lo representamos habiendo girado de su posición original un ángulo de 240 grados con las letras BCA, entonces podemos representar el efecto de aplicar las operaciones P y Q sobre dicho triángulo de la siguiente manera:

P(ABC) = CAB

P(CAB) = BCA

P(BCA) = ABC

Q(ABC) = BCA

Q(CAB) = ABC

Q(BCA) = CAB

De este modo, una sucesión de operaciones (recuérdese en todo momento que las operaciones que se van aplicando se van leyendo de izquierda a derecha) se puede representar como sigue:

Q ○ P(ABC) = P ○ (Q(ABC)) = P ○ (BCA) = ABC

con lo cual podemos efectuar manipulaciones simbólicas más elaboradas sin necesidad de tener que recurrir a dibujo alguno como la siguiente:

P ○ Q ○ Q(CAB) =Q ○ Q(P(CAB)) = Q _° Q (BCA)

= Q(Q (BCA)) = Q(CAB)

= ABC

En estos ejemplos, al ir aplicando una cadena sucesiva de operaciones, cada "operador" de rotación que actúa de inmediato sobre el objeto (el triángulo) es el que está escrito más hacia la izquierda.

Ahora vamos a ver el efecto de "romper" un poco la simetría de la figura. Tomemos el triángulo equilátero elevando su vértice A hacia arriba de modo tal que ya no sea un triángulo equilátero con sus tres lados iguales, sino un triángulo isósceles. Obviamente, ya no es posible aplicar las operaciones P y Q, porque si hacemos tal cosa la figura resultante ya no se va a parecer en nada a la figura original. De hecho, la única operación que podemos aplicar sobre este triángulo que nos dará una configuración igual a la original es la rotación del triángulo de modo tal que el vértice A permanezca en su sitio pero que los vértices B y C resulten intercambiados. Es, en efecto, lo que vendría siendo el equivalente de la operación S aplicada sobre el triángulo equilátero. Aunque el triángulo isósceles a primera vista nos parece una figura tan "simétrica" como el triángulo equilátero, no lo es, y esta es la razón por la cual todas las operaciones de simetría que se pueden llevar a cabo con el triángulo equilátero quedan reducidas a una sola con el triángulo isósceles. De hecho, el triángulo isósceles no tiene más operaciones posibles de simetría que las de la línea recta AB que vimos al principio.

La destrucción de la simetría en una figura reduce el número de operaciones de simetría que podemos llevar a cabo sobre ella. La cantidad posible de operaciones de simetría es una medida del grado de simetría que puede exhibir un objeto. Un objeto sin operación de simetría posible sobre él es un objeto completamente asimétrico.

Además de las operaciones de simetría P y Q arriba mostradas, podemos llevar a cabo otro tipo de operaciones sobre el triángulo equilátero, las cuales requieren girarlo manteniendo uno de sus vértices en el mismo lugar. Son las siguientes:

En la operación S, tomamos el triángulo equilátero y manteniendo el vértice superior fijo lo hacemos girar de modo tal que los vértices inferiores intercambien posiciones. En la siguiente operación T, mantenemos el vértice inferior izquierdo inmóvil y giramos el triángulo de modo tal que el vértice superior y el vértice inferior derecho intercambien posiciones. Por último, en la operación U, tomamos el triángulo equilátero y manteniendo el vértice inferior derecho inmóvil lo hacemos girar de modo tal que el vértice superior y el vértice inferior izquierdo intercambien posiciones. Las operaciones posibles aquí también se pueden representar mediante una "tabla de multiplicar" como la siguiente:






Los casos que hemos visto son casos de objetos geométricos localizables en un plano. Pero no hay razón alguna por la cual nos tenamos que limitar a objetos geométricos planos. Podemos extender nuestra matemática sin números hacia objetos sólidos, hacia un espacio de tres dimensiones.

La primera generalización que podemos hacer es sobre la recta AB que consideramos al principio. En lugar de una recta, podemos considerar el sistema de coordenadas rectangulares (x,y,z):

y podemos efectuar rotaciones de 180 grados en torno a cada uno de los ejes. Denotando como a, b y c a las rotaciones con respecto a los ejes x, y e z:

y denotando a I como la posición original, podemos construír la siguiente "tabla de multiplicación:

Siempre que construimos una "tabla de multiplicar" de este tipo encontraremos que cada elemento dentro de la tabla no puede aparecer más que una sola vez en un mismo renglón y en una misma columna; si aparece repetido entonces ello será el resultado de alguna equivocación en el cálculo del elemento.

El conjunto de elementos {I, a, b, c} que acabamos de ver caracterizado por la anterior "tabla de multiplicar" es un ejemplo de algo que en matemáticas es conocido como un un grupo, y en este caso este grupo es conocido como el 4-grupo de Klein. De hecho, todos los ejemplos anteriores en los que se han visto involucradas operaciones de simetría son ejemplos de grupos.

En todos los casos que hemos visto, las operaciones binarias entre dos elementos cualesquiera jamás producen un elemento que esté fuera del conjunto original de elementos. Para cada caso, el conjunto de elementos está cerrado, es completo y suficiente para poder llevar a cabo todas las operaciones. Esto es lo que llamamos la propiedad de cerradura. Podemos verificar también que en todos los casos se cumple la propiedad asociativa:

m _° (n _° o) = (m _° n) _° o

Por ejemplo, para el caso de la rotación de los ejes coordenados en ángulos de 180 grados, tenemos consultando la tabla que:

b _° (c _° a) = b _° (c _° a) = b _° (b) = b _° b = I

y que:

(b _° c) _° a = (a) _° a = a _° a = I

con lo que se concluye para esta combinación de operaciones que:

b _° (c _° a) = (b _° c) _° a

De aquí en adelante, todo conjunto de elementos (operaciones de simetría) en el que se ha definido una operación binaria (○) y en el que se cumplan las cuatro condiciones mencionadas, a saber:

(1) La operación binaria (○) jamás producirá un elemento que esté fuera del conjunto original de elementos. Siempre se cumplirá la propiedad de cerradura.

(2) Existe un elemento cuya aplicación "deja las cosas como están, el elemento identidad I.

(3) Toda operación puede ser cancelada en virtud de que dentro del conjunto de elementos cada operación tendrá un inverso que puede deshacer el efecto de la operación llevada a cabo.

(4) La propiedad asociativa se cumple en todos los casos. Los paréntesis no tienen efecto alguno sobre el resultado final de las operaciones y su uso está limitado a llevar a cabo operaciones de simplificación, no de fijación de algún orden en el cual se deban llevar a cabo las operaciones.

será llamado de aquí en adelante un grupo. Nuestro lenguaje matemático para estudiar la simetría de las cosas, será la teoría de grupos.

Puesto que es relativamente fácil en cualquier caso verificar la existencia del elemento identidad, así como confirmar con un vistazo rápido a la "tabla de multiplicar" que se cumple el requisito de que haya cerradura, así como verificar que todo elemento tiene su inverso, queda claro que lo más laborioso será verificar que la propiedad asociativa se cumple para todas las combinaciones posibles de tríos ordenados de elementos.

Aunque un grupo G que está asociado a una operación binaria "○" se representa frecuentemente como (G, ○), podemos prescindir de esta notación elaborada cuando no hay confusión alguna acerca del tipo de operación binaria que se lleva a cabo sobre los elementos del grupo.

En la teoría de los conjuntos, para un conjunto X como el siguiente:

X = {carlos, juan, pedro, lorenzo, javier}

denotamos como |X| la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto. En este caso, |X|=5.

De la misma manera, por definición, el orden de un grupo G, representado como |G|, es la cantidad de elementos (operaciones de simetría) que contiene dicho grupo. Así, el 4-grupo de Klein {I, a, b, c} que vimos arriba tiene un orden de cuatro, o sea |G|=4. Del mismo modo, el grupo de operaciones de rotación {I, P, Q} del triángulo equilátero tiene un orden de tres, o sea |G|=3.

La definición del orden de un grupo nunca debe ser confundida con la definición del orden de un elemento del grupo. Se dice que un elemento cualquiera x de un grupo G es de orden finito si existe algún exponente n para el cual Xⁿ sea igual al elemento identidad I. En el 4-grupo de Klein, por ejemplo, el elemento a es de orden dos, porque a²=I.