miércoles, 14 de diciembre de 2011

El producto de dos grupos



Sea el conjunto Z3 = {0,1,2} un grupo definido por la siguiente tabla en la cual usaremos el símbolo + para denotar la operación binaria llevada a cabo (obsérvese que esta no es una suma de aritmética ordinaria):


y sea el conjunto Z2 = {0,1} otro grupo definido por la siguiente tabla en la cual usaremos también el símbolo +:


Nos hacemos ahora la siguiente pregunta: Así como es posible definir la multiplicación de dos números enteros, así como es posible definir la multiplicación de dos números complejos del tipo z=x+iy, y así como es posible definir el producto de dos vectores (cantidades que tienen dirección y sentido) e inclusive el producto de dos matrices (arreglos rectangulares de números), ¿será posible definir el producto de dos grupos como los grupos Z3 y Z2? La respuesta es afirmativa si recurrimos a la definición del producto Cartesiano. Quienes han tomado ya un curso de geometría analítica seguramente están muy familiarizados desde el inicio del curso con el concepto del producto Cartesiano RxR sobre el conjunto R de los números reales, el cual cubre un plano con pares ordenados de números (x,y). El producto Cartesiano de dos conjuntos A y B está definido como el conjunto de todos los pares ordenados de elementos (a,b) tales que a sea cualquier elemento del conjunto A y b sea cualquier elemento del conjunto B. Formalmente, se le representa de manera abreviada (en simbolismo de “taquigrafía matemática”) como sigue:

AxB = {(a,b): aA, b ∈ B}

De este modo, para los conjuntos A.=.{2,5,9} y B.=.{p,q}, el producto Cartesiano de estos dos conjuntos contendrá los siguientes elementos:

AxB = {(2,p),(2,q),(5,p),(5,q),(9,p),(9,q)}

Es muy importante darse cuenta de que, en general, el producto Cartesiano no es conmutativo. Algunas veces lo es, pero otras no. En el ejemplo mostrado, el producto Cartesiano BXA de los dos conjuntos citados será:

BxA = {(p,2),(p,5),(p,9),(q,2),(q,5),(q,9)}

Esta definición de producto Cartesiano se puede extender fácilmente al producto Cartesiano de más de dos conjuntos, tales como los productos Cartesianos AxBxC y RxIxQ.

Regresando a las “tablas de multiplicar” de los grupos Z3 y Z2 dadas al principio, los “elementos” del producto Cartesiano Z3XZ2 serán:

Z3XZ2 = {(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)}

Esto nos deja sólo un problema: ¿Cómo construímos la “tabla de multiplicar” para este producto de grupos? O lo que es lo mismo, ¿cómo definimos la operación binaria (○) entre dos de los elementos del grupo? Supóngase que queremos obtener el producto binario de:

(1,1) ○ (2,1)

Para lograr esta definición, podemos combinar los primeros elementos en cada par ordenado provenientes del conjunto Z3 para obtener 1+2.=.0, y los elementos provenientes del conjunto Z2 para obtener 1+1.=.0.

Si escribimos los resultados en forma de tabla para todas las combinaciones posibles, ésta será:


Lo que se acaba de llevar a cabo se puede generalizar de la siguiente manera: Dados dos grupos G y H, la operación de composición binaria:

(g1,h1) ○ (g2,h2)

con elementos g1 y g2 tomados del conjunto G y los elementos h1 y h2 tomados del conjunto H se define como

(g1,h1) ○ (g2,h2) = (g1g2 , h1h2)

en donde g1g2 y h1h2 son los valores que se obtienen respectivamente para los elementos tomados del conjunto G y los elementos del conjunto H y los elementos tomados del conjunto H según las operaciones definidas en cada uno de ellos por sus respetivas “tablas de multiplicar”.

Inspeccionando de cerca la tabla que representa el producto de los grupos Z3 y Z2, descubrimos algo importante. El producto de los dos grupos Z3 y Z2 es a su vez un grupo:

(1) Hay cerradura: no se genera ningún elemento que no forme parte del conjunto original de elementos.

(2) El elemento identidad está allí. Es el elemento (0,0).

(3) Cada elemento tiene a su inverso dentro de la tabla con el cual produce al elemento identidad. Por ejemplo, el inverso del elemento (2,1) es el elemento (1,1):

(2,1) ○ (1,1) = (0,0)

(1,1) ○ (2,1) = (0,0)

(4) Podemos comprobar que para todos los elementos de la tabla se cumple la propiedad asociativa.

Entonces Z3XZ2 es también un grupo.

Esto lo podemos generalizar como un teorema fácil de demostrar:

Teorema: Sean G y H dos grupos. Entonces el producto Cartesiano GxH con la operación

(g1,h1) ○ (g2,h2) = (g1g2, h1h2)

es un grupo llamado el producto directo de los grupos G y H.

La definición de productos de grupos nos permite no sólo construír grupos más grandes a partir de grupos más pequeños. También nos permite describir la estructura de un grupo complicado en términos de las estructuras de grupos más pequeños que nos son familiares.

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