miércoles, 14 de diciembre de 2011

Los subgrupos normales




Existe una clase muy especial de grupos extremadamente importantes, vitales para descubrir las posibilidades de las relaciones de la simetría en la naturaleza.

Considérese el siguiente conjunto de ocho elementos:

Q = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}

tales que:

i2 = j2 = k2 = -1

y el cual constituye un grupo bajo una operación de multiplicación no-conmutativa cuando sus elementos satisfacen además las siguientes operaciones:

ij = k = -ji

jk = i = -kj

ki = k = -ik

¡Obsérvese que todas estas operaciones no son conmutativas!

La “tabla de multiplicar” de este grupo de orden ocho (consta de ocho elementos) es la siguiente:




Para este grupo el elemento identidad es el número “1”. Con solo inspeccionar la tabla podemos comprobar que todos los elementos cuentan dentro del conjunto con un elemento inverso con el cual al ser multiplicados se producirá el elemento identidad, lo cual es obvio al aparecer el número “1” una sola ocasión en todos los renglones y en todas las columnas de la tabla. Este es un grupo importante. Se trata del grupo cuaternio, y tiene una propiedad que lo hace interesante: todos sus subgrupos son lo que llamamos subgrupos normales. (Los cuaternios tienen una historia interesante. Fueron descritos por vez primera en 1843 por el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton, el famoso creador de la mecánica Hamiltoniana, una mecánica que es a su vez una reformulación de la mecánica clásica Newtoniana que se estudia en los cursos superiores de mecánica. Hamilton trató extender la idea del número complejo z.=.x+iy del plano Cartesiano (x,y) hacia un mayor número de dimensiones, y aunque no logró tal cosa para un espacio matemático de tres dimensiones sí lo logró con los cuaternios para un espacio matemático de cuatro dimensiones. Al principio los cuaternios fueron considerados como curiosidades patológicas por no obedecer la ley conmutativa ab.=.ba. La creación de los cuaternios implicó abandonar la vieja costumbre de la conmutatividad en las operaciones aritméticas y algebraicas, lo cual fue un avance revolucionario para su tiempo. Eventualmente, de la formulación clásica de la mecánica Hamiltoniana y de la idea de la no-conmutatividad surgirían las semillas para la "ecuación extraña" de Max Born QP-PQ.=.ih/2π, uno de los pilares sobre los cuales descansa la mecánica cuántica moderna y cuya tumba tiene como epitafio precisamente esta ecuación.)

¿Y qué es un subgrupo normal?

La definición formal es la siguiente:





Cuando tenemos un subgrupo propio H dentro de otro grupo G, y cuando si para todos los elementos g del grupo G se cumple la condición (obsérvese que aquí estamos haciendo uso de la definición de los trasladados):

gH = Hg

entonces decimos que el grupo H es un subgrupo normal. (Esencialmente, el trasladado de H a la izquierda en G representado como gH debe contener los mismos elementos que el trasladado de H a la derecha en G representado como Hg). Un subgrupo normal es también conocido como subgrupo invariante o como divisor normal.

En la literatura es frecuente encontrar en los textos un símbolo triangular para denotar cuándo un subgrupo es un subgrupo normal del grupo G al cual pertenece. Así, cuando vemos lo siguiente:


debemos leerlo como:

“H es un subgrupo normal de G”

La forma del símbolo triangular (el cual no es conocido por nombre alguno) es reminiscente del papel que está jugando la simetría en todo esto.

Evariste Galois, el “padre” de la Teoría de Grupos, fue el primero en darse cuenta de la importancia de los subgrupos normales. Fue precisamente el concepto de los subgrupos normales lo que le permitió resolver en definitiva si era posible o no obtener una fórmula general para resolver ecuaciones de quinto grado.