Los grupos cíclicos

Existen grupos que cuyas tablas son extremadamente fáciles de generar. Son grupos tan inocentemente triviales que hasta un pequeño de primaria puede entender cómo producir la tabla de multiplicar para cualquiera de ellos. Se trata de los grupos cíclicos, lo cuales se distinguen porque constan de un solo elemento. Llamaremos al elemento a. Puesto que las únicas operaciones posibles son aquellas en las cuales el elemento es “multiplicado” consigo mismo, identificaremos una operación repetida n veces con un símbolo superscrito “n” (aunque resulta tentador llamarlo “exponente”, no se hará aquí tal cosa porque el elemento a no necesariamente es un número como los que usamos en la aritmética de uso corriente sino que puede ser una operación como las operaciones de simetría que ya hemos visto anteriormente). Así, el símbolo de la operación sucesiva a*a*a... repetida n veces será aⁿ. Para que estos grupos no sean infinitos tenemos que tener alguna manera de poder “contener” los efectos de una multiplicación repetida varias veces, y esto lo hacemos especificando que, para cierto valor de “n”, el resultado será el elemento identidad I. Por ejemplo, si el número "n" para el cual el resultado será el elemento identidad es 6, entonces:

a ○ a ○ a = a³

a ○ a ○ a ○ a = a⁴

a ○ a ○ a ○ a ○ a = a⁵

a ○ a ○ a ○ a ○ a ○ a = I

a ○ a ○ a ○ a ○ a ○ a ○ a = a

a ○ a ○ a ○ a ○ a ○ a ○ a ○ a = a²

Esto nos permite poder construír de inmediato la siguiente “tabla de multiplicar”:

Al igual que con los grupos anteriores a los cuales con cada “tabla de multiplicar” se les ha podido asociar un conjunto de operaciones de simetría, también aquí existe una forma de poder hacer corresponder esta “tabla” con operaciones de simetría llevadas a cabo sobre una figura geométrica. Esto lo podemos hacer sobre la tabla anterior representando varios puntos igualmente espaciados alrededor de una circunferencia (a 60 grados el uno del otro) como sigue:

En este caso, la operación a consiste en hacer girar el disco en sentido contrario de las manecillas del reloj un ángulo de 60 grados. Al hacer esto, el punto A pasa a ocupar la posición que ocupaba el punto B, el punto B pasa a ocupar la posición que ocupaba el punto C, y así sucesivamente, hasta que el punto F pasa a ocupar el sitio dejado vacante por el punto A.

Nuevamente, tomando en cuenta que a representa una operación, podemos trabajar de modo puramente simbólico en la forma como se muestra a continuación prescindiendo por completo de dibujos:

a(ABCDEF) = BCDEFA

a²(ABCDEF) = a ○ a(ABCDEF) = a(BCDEFA) =CDEFAB

Ciertamente, el uso de notación simbólica permite economizar espacio y presentar la información de manera más compacta, en un estilo más “profesional”, más al gusto de los requerimientos rigurosos para la presentación de trabajos en publicaciones matemáticas serias. Pero esto no significa que limitarse exclusivamente al uso de símbolos sea la mejor manera de aprender o de explicar una cosa. Cuando se está aprendiendo algo nuevo como esto por vez primera, el uso profuso de dibujos aunado el uso profuso de ejemplos ayuda a aclarar muchas dudas y a “despejar” el panorama. Una vez que los conceptos fundamentales han entrado en nuestras mentes, una vez que tenemos una idea clara de aquello acerca de lo cual se está hablando, entonces podemos prescindir por completo de cualquier tipo de dibujos o inclusive de cualquier tipo de ejemplo limitándonos al uso de simbología pura, pero sin olvidar jamás que cuando ideas y conceptos nuevos van a entrar en nuestra cabeza por vez primera hay que referirse a aquello a lo cual se están refiriendo los símbolos. Pretender aprender (o inclusive desarrollar algo nuevo) de manera puramente simbólica sin ninguna conexión con algo tangible es perderse la oportunidad de darse cuenta de lo que realmente está sucediendo detrás de toda aquella simbología.

La simetría “rotacional” de los grupos cíclicos los hace reminiscentes del símbolo puesto en la bandera de la isla céltica Isle of Man situada cerca de la Gran Bretaña:

Puesto que el exponente n tiene forzosamente que tener un valor finito para que la simetría “rotacional” de disco se pueda preservar, los grupos cíclicos siempre serán grupos finitos. Sin embargo, a mayores valores de n, el orden del grupo irá aumentando conforme va aumentando la “densidad” de puntos en el borde de la circunferencia. Se había mencionado que entre menor sea la simetría presentada por un objeto también serán menos los elementos que contenga el grupo de las simetrías correspondientes a dicho objeto, hasta que en ausencia de simetría alguna el objeto sólo contendrá el elemento identidad. Indirectamente, esto puede interpretarse como la confirmación de que, de todos los objetos geométricos planos, la circunferencia es el objeto más simétrico de todos.