Para quienes estén interesados en continuar con su estudio del lenguaje de la simetría y además en obtener una mejor idea sobre los avances recientes que ha habido en el área de la teoría de los grupos, a continuación se darán algunos títulos de obras de interés así como algunos enlaces que pueden ser de mucha utilidad como fuentes de consulta posterior.
Un libro de actualidad muy ameno sobre la teoría de grupos aplicada a la resolución del problema de determinar si existe o no una fórmula para la resolución de una ecuación de grado n, la teoría de Galois, publicado por la American Mathematical Society, es el libro Galois Theory for Beginners de Jörg Bewersdorff.
Otro libro, que contiene en su primer apéndice el trabajo original de Evariste Galois “Memoria sobre las condiciones de solubilidad de ecuaciones por radicales” que dió origen a una verdadera revolución en el pensamiento matemático e inició lo que hoy se conoce como álgebra abstracta moderna, es el libro Galois Theory de Harold M. Edwards. Además de esta importante inclusión del trabajo principal del “padre de la Teoría de Grupos”, este libro contiene también todas las respuestas a todos los ejercicios propuestos al final de cada capítulo, una verdadera gema, una verdadera rareza, lo cual es una ayuda valiosa para todos aquellos ansiosos por abarcar más material de lo que usualmente cubren los cursos introductorios, algo que permite aclarar las dudas que los ejercicios propuestos por el autor supuestamente deben aclarar (jamás en mi vida he visto un solo maestro de matemáticas a ningún nivel desde la escuela primaria hasta la universidad que cubra en su cátedra las soluciones de todos los ejercicios y problemas puestos en los libros al final de cada capítulo, siendo muy rara la vez que se cubre aunque sea la mitad de ellos, dejando a muchos estudiantes al terminar el curso con la vaga sensación de que perdieron algo importante).
Se puede obtener una copia gratuita del libro “Introduction to Groups, Invariants and Particles”, en formato pdf, en el siguiente enlace:
http://www.vegetarianusa.com/physics/introgroups.pdf
Hay un sitio en la marina norteamericana en donde podemos obtener gratuitamente un libro completo que relaciona la teoría de grupos con los métodos de resolución del cubo de Rubik. Podemos obtenerlo en el siguiente enlace:
http://web.usna.navy.mil/~wdj/papers/rubik.pdf
Si queremos obtener más información sobre el Pyraminx y otros juguetes como este similares al cubo de Rubik, podemos hacerlo consultando la columna “Metamagical Themas” elaborada por Douglas R. Hofstadter para la revista Scientific American en su edición del mes de julio de 1982, la cual contiene una exposición sobre el “cubo piramidal” inventado por Uwe Mèffert en los años setenta.
Un libro excelente sobre el Pyraminx analizado desde una perspectiva simplificada de la teoría de grupos es el libro “The Amazing Pyraminx”, elaborado por el Doctor Ronald Turner-Smith.
A la fecha de publicación de esta obra, todavía sigue activo el sitio Web del inventor del Pyraminx y otros derivados similares, en donde se ofrecen procedimientos de solución para una amplia gama de productos distribuídos por Uwe Mèffert, tales como el Pyraminx, el Skewb, el Megaminx y el Tetraminx. La dirección del sitio es la siguiente:
Dentro de la Wikipedia, podemos encontrar información sobre la “tabla de multiplicar” de grupos y sus orígenes históricos en el siguiente enlace:
Un objetivo de enorme interés e importancia en la teoría de grupos es la clasificación de todos los grupos simples finitos, también conocido como el enorme teorema debido a la vasta cantidad de fuentes de referencia usadas para lograr demostrar que tal clasificación es posible (el esfuerzo incluye decenas de miles de páginas de trabajos publicados a lo largo de tres décadas en el lapso 1950-1980 en alrededor de unas 500 publicaciones de organizaciones profesionales de matemáticas). Los grupos simples finitos son vistos como los “ladrillos” básicos para contruír cualquier grupo finito, del mismo modo que los números primos son vistos como componentes esenciales en la teoría de los números, y la piedra angular de todo es la observación de que todo grupo simple finito es cíclico (como los grupos cíclicos que hemos estudidado en esta obra) o alternante, o está incluído en una lista de 16 familias de grupos del tipo Lie (en la cual se incluye al grupo Tits (aunque estrictamente hablando no se trata de un grupo Lie) o uno de 26 grupos esporádicos. En enero de 1981, el afamado matemático Daniel Gorenstein impactó a la comunidad matemática presentando en una reunión de la American Mathematical Society una demostración de que la lista que se tenía de los 26 grupos llamados grupos finitos simples esporádicos era ya una lista completa, lo cual significaba que los componentes de cualquier grupo con una cantidad finita de elementos habían sido finalmente clasificados en forma exhaustiva. Sin embargo, el anuncio hecho por Gorenstein de su demostración fue prematuro, ya que tras el anuncio se han ido descubriendo agujeros de razonamientos intermedios que faltaban de ser demostrados. Una deficiencia en la demostración de Gorenstein fue que él estaba en la creencia de que el asunto de la clasificación de los grupos quasithin (quasi-delgados) era un asunto concluído, cuando de hecho no lo era. El matemático Michael Aschbacher cerró este capítulo pendiente de la clasificación de los grupos quasithin con la publicación de un trabajo cuya publicación requierió un par de libros totalizando 1300 páginas.
Podemos encontrar más detalles sobre el proyecto de la clasificación de todos los grupos simples finitos en los siguientes enlaces:
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups
http://www.ams.org/notices/199502/solomon.pdf
También dentro de la Wikipedia podemos encontrar mucha información sobre todo tipo de grupos, comenzando con los grupos de permutaciones:
Información Wikipedia sobre el grupo del icosaedro:
Información Wikipedia sobre los grupos simétricos:
Información Wikipedia sobre grupos alternantes:
Información Wikipedia sobre grupos no-solubles:
Se puede obtener más información acerca de los cuaternios y acerca del grupo de los cuaternios en los siguientes enlaces Wikipedia:
Hay muchos otros tipos de grupos además de los que ya se han cubierto aquí en esta bitácora (diedros, cíclicos, permutación, Galois, etc.) tales como los grupos puntuales:
los grupos ortogonales:
los grupos symplecticos:
los grupos de Prüfer:
los grupos Lie:
los grupos Mathieu (tales como el grupo Mathieu M(11) que contiene 7,920 elementos y el grupo Mathieu M(12) contiene 95,040 elementos):
los grupos de Conway:
el subgrupo de Frattini:
e inclusive hasta hay un grupo monstruo, llamado así por su increíble tamaño pese a ser un grupo simple que no contiene subgrupos normales:
http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group
el cual tiene un orden de:
¡808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 elementos!
En contraste, el grupo “monstruo baby”:
tiene un orden de tan solo
241 · 313 · 56 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47
o
¡4,154,781,481,226,426,191,177,580,544,000,000 elementos!
Hay que señalar que estos resultados indican que se han llevado a cabo estudios sobre estos grupos con el auxilio de computadoras potentes. El advenimiento de equipo de cómputo de alta potencia disponible en escritorios es lo que ha posibilitado un desarrollo casi explosivo en la teoría de grupos en las últimas dos décadas.
Muchos de los grupos que se acaban de mencionar se encuentran listados con sus características en el siguiente enlace:
Quienes ya leyeron el trabajo “Geometrías no-Euclideanas” subido a Internet por este mismo autor y están familiarizados ya con geometrias no-Euclideanas del tipo hiperbólico, tal vez les interese saber que existe un grupo hiperbólico:
usado precisamente para la descripción desde una perspectiva más sofisticada de un espacio no-Euclideano de geometría hiperbólica.
Existen inclusive grupos “torcidos” (twisted groups) cuyos detalles también están disponibles en Internet bajo tal título.
Lo que es asombroso es que todos estos grupos y toda la teoría detrás de ellos se ha generado a partir de algo cuyos únicos requisitos para el concepto fundamental son la existencia del elemento identidad, la existencia de elementos inversos, la presencia de la propiedad asociativa, y la cerradura de operaciones (el requerimiento de que ningún elemento generado por el grupo esté fuera de los elementos que definen al grupo).
La Teoría de los Grupos de Galois ha ido mucho más lejos de lo que su creador llegara a percibir como posible. Tenemos, por ejemplo, la teoría diferencial de Galois, cuyo propósito es ayudar al entendimiento de la resolución de ecuaciones diferenciales explotando el grupo de simetría del campo generado por un conjunto completo de soluciones a una ecuación diferencial dada. Para aquellos univesitarios que quieran darse una idea sobre el tipo de notación utilizado en esta área así como los conceptos que se discuten en ella, pueden encontrar una introducción en el siguiente trabajo accesible en Internet:
www.ams.org/notices/199909/fea-magid.pdf
Existe en Internet un “Atlas” de representaciones de grupos finitos, accesible en el siguiente enlace en su versión # 1:
http://web.mat.bham.ac.uk/atlas/v1.html
En relación con los grupos continuos de Lie, podemos consultar una tabla de Grupos Lie que resume los tipos que existen así como sus principales características:
Podemos encontrar también una lista de los grupos Lie simples en el siguiente enlace:
Además de su celebrado teorema que afirma que todos los grupos son isomorfos a un grupo de permutaciones así como otras contribuciones importantes en teoría de matrices, Arthur Cayley legó los “grafos Cayley”, los cuales codifican en forma visual las características de los grupos:
Sobre la violación de la conservación de la paridad:
Sobre el célebre “Teorema del diamante”, tenemos el siguiente enlace dedicado exclusivamente a dicho tópico:
http://diamondtheorem.com/
