miércoles, 14 de diciembre de 2011

Los grupos de permutación




Existen unos grupos extremadamente importantes en las matemáticas de la simetría, conocidos como los grupos de permutación.

Para empezar, supóngase que tenemos un arreglo inicial que consta de seis objetos acomodados en forma ordenada en sus casilleros respectivos, un arreglo en donde aún no se ha llevado a cabo ninguna permutación sobre dichos objetos. Esta configuración inicial, la cual identificaremos como la permutación identidad I, usualmente se representa en los textos de matemáticas de la siguiente manera:


Sin embargo, con la intención de dar una mayor claridad y amenidad a lo que estaremos estudiando aquí, se utilizará una representación equivalente complementada con varios colores que nos ayudarán a distinguir mejor cada movimiento que se estará llevando a cabo sobre los elementos individuales. De este modo, la anterior representación será manejada del modo siguiente:


enfatizándose que las dos representaciones son completamente equivalentes.

Ahora llevaremos a cabo una permutación de elementos, la cual identificaremos con el símbolo k. Todos los cambios los llevaremos a cabo en el renglón inferior, mientras que el renglón superior permanecerá inalterado. El elemento que está en la posición 1 será relocalizado a la posición 5, el elemento que está en la posición 2 se dejará en su mismo lugar, el elemento que está en la posición 3 será relocalizado a la posición 4, el elemento que está en la posición 1 será relocalizado a la posición 1, el elemento que está en la posición 5 será relocalizado a la posición 3, y el elemento que está en la posición 6 se dejará en su mismo lugar. Una vez que se han llevado a cabo estos movimientos, nuestro arreglo rectangular presentará el siguiente aspecto:


De este modo, bajo la operación k, cada uno de los elementos inferiores del arreglo han sido reasignados según el siguiente esquema:

k(1) → 4

k(2) → 2

k(3) → 5

k(4) → 3

k(5) → 1

k(6) → 6

Esta transformación es lo que en matemáticas se conoce como un mapeo (mapping), llamado también aplicación(en el sentido matemático de que se aplica una transformación al elemento convirtiéndolo en otro elemento). El término es apropiado, porque bajo una operación o transformación como k, cada elemento del conjunto original es mapeado hacia una nueva configuración.

Una vez que el concepto anterior ha quedado claro, podemos proceder a llevar a cabo una sucesión de permutaciones, o si queremos utilizar terminología más elegante, una composición. Para simplificar la explicación, lo haremos utilizando dos permutaciones sobre cinco elementos en lugar de seis, las cuales llamaremos h y d.




La permutación h la podemos representar de la siguiente manera:


Del mismo modo, la permutación d la podemos representar de la siguiente manera:


Ahora llevaremos a cabo la siguiente secuencia de permutaciones:

h ○ d



Para poder llevar a cabo esta secuencia combinada de permutaciones, podemos reacomodar las columnas de la permutación d de modo tal que el primer renglón de la permutación d coincida con el segundo renglón de la permutación h. De este modo, la permutación d:


quedará representada de la siguiente manera:


Este reacomodo de columnas es una operación completamente válida y siempre la podemos llevar a cabo, puesto que el orden de las columnas en cualquier permutación no tiene relevancia alguna, en el caso que nos ocupa ambos arreglos representan la misma aplicación:

d(1) → 1

d(2) → 5

d(3) → 3

d(4) → 4

d(5) → 2

De este modo, la operación binaria h ○ d representa ahora el siguiente aspecto:


Hecho esto, el último paso es inmediato. Podemos ver que las entradas del renglón inferior de la primera permutación h cancelan las entradas del renglón superior de la segunda permutación d, con lo cual tenemos la resultante final de esta composición de permutaciones:


A continuación, aplicaremos el mismo procedimiento para obtener la resultante de la operación combinada d ○ h:



Nuevamente, podemos llevar a cabo un reacomodo de las columnas en la segunda permutación, la permutación h, de modo tal que el primer renglón de la segunda permutación h coincida con el segundo renglón de la primera permutación d, llevando a cabo tras esto la cancelación de dichos renglones para obtener el efecto final de la permutación combinada:


o en notación convencional sin usar los adornos didácticos que hemos venido utilizando:


Como puede apreciarse, lo que obtenemos con la operación h ○ d no es igual a lo que obtenemos con la operación d ○ h. En general, la secuencia sucesiva de dos o más permutaciones no es una operación conmutativa.

Aunque el ejemplo anterior fue llevado a cabo sobre un conjunto de cinco elementos, el procedimiento se puede extender sin problema alguno hacia un conjunto mayor de elementos. A continuación tenemos otro ejemplo en el cual llevamos a cabo dos permutaciones sucesivas sobre un conjunto de seis elementos:


o en notación convencional:


Mediante la representación que hemos venido utilizando, es extremadamente fácil obtener la permutación inversa de una permutación dada. Dada una permutación cualesquiera m como la que se muestra a continuación, todo lo que tenemos que hacer para obtener la permutación inversa m-1 es intercambiar el renglón superior y el renglón inferior, y tras esto reacomodar las columnas de modo tal que los números del renglón superior tengan una secuencia de orden ascendente:


Llevando a cabo operaciones de composición binaria para permutaciones como las que vimos arriba, el lector pueden comprobar por cuenta propia lo siguiente:

m m-1 = I

m-1 ○ m = I

Veamos ahora lo mismo pero desde otro punto de vista.

Existe otro tipo de notación matemática extremadamente útil para abreviar la representación de una permutación, una especie de notación matemática “taquigráfica” breve. Es la notación cíclica.

Supóngase que tenemos un tablero de ajedrez en el cual tenemos colocado un alfil en la posición 1, una torre en la posición 2, y un caballo en la posición 3. Supóngase ahora que llevamos a cabo una permutación en la cual movemos el alfil de la posición 1 a la posición 2, la torre de la posición 2 a la posición 3, y el caballo de la posición 3 a la posición 1 que había sido dejada vacante por el alfil. La siguiente figura muestra el reacomodo llevado a cabo sobre la configuración original:



Bajo el esquema conocido como notación cíclica, este reacomodo es simbolizado de la siguiente manera:

(1__2__3)

y se lee de la siguiente manera:

“Muévase la pieza que estaba en la posición 1 a la posición 2; tras esto muévase la pieza que estaba en la posición 2 a la posición 3; y por último, muévase la pieza que estaba en la posición 3 al lugar indicado al inicio del ciclo, al lugar 1








En general, la permutación básica


es llamada un ciclo de longitud n, y se representa como:

(a1__a2__a3__a4__a5 ...... an)

lo cual quiere decir, leyendo de izquierda a derecha, que los elementos son reposicionados bajo el siguiente esquema:

a1 → a2

a2 → a3

a2 → a3

a3 → a4

a4 → a5

y así sucesivamente, terminando con el sobreentendido de que el elemento en la última posición, an, es asignado a la primera posición a1, o sea:

an → a1

De este modo:


Sin embargo, un ciclo puede actuar sobre una cantidad inferior de elementos. Por ejemplo, en el caso arriba citado, (1_2_4) se lee como:


o bien, "el elemento en la primera posición 1 es asignado a la posición 2, el elemento en la segunda posición 2 es asignado a la posición 4, y el elemento en la posición 4 es asignado a la posición 1". En virtud de que los elementos 3, 5 y 6 no cambian de posición, no aparecen mencionados dentro del ciclo.

Como la notación cíclica no nos dice cuántos elementos hay dentro del grupo de permutación al cual algún ciclo esté haciendo referencia, la notación (1_2_4) podría interpretarse de varias maneras, tales como:


Es por esto que resulta muchas veces conveniente complementar una notación cíclica indicando el grupo de permutación Sn al cual pertenece cierto elemento (ciclo). En los tres casos arriba mencionados, lo haríamos de la siguiente manera:

(1__2__4) S4

(1__2__4) S5

(1__2__4) S6

Desafortunadamente, esta no es una práctica que se siga en todos los libros de texto. De cualquier manera, y afortunadamente, es posible saber dentro del contexto de los ejemplos citados en dichos textos cuál es el grupo de permutación Sn al que se está refiriendo cierta notación cíclica.

Obsérvese que el ciclo

(1__2__3)

también se puede escribir como

(3__1__2)

ya que en ambos casos se está proporcionando la misma información. Sin embargo, no es posible escribirlo como

(3__2__1)

Consideremos ahora los siguientes ciclos:

(1__2__4) S6

(1__2__5__6) S6

entonces un posible producto de estos ciclos:

(1__2__4) (1__2__5__6)

será igual a:


Por otro lado, tenemos que:


Obsérvese que los dos resultados son diferentes. En general, el producto de dos ciclos no es conmutativo, aunque puede serlo bajo ciertas condiciones. Por ejemplo, considérense los siguientes ciclos:

(1__4) S6

(2__3__5) S6

Entonces las permutaciones combinadas:

(1__4) (2__3__5)


y

(2__3__5) (1__4)

producen el mismo resultado:


La diferencia entre este ejemplo y el ejemplo previo es que en tanto los ciclos (1_4) y (2_3_5) no tienen números en común, los ciclos (1_2_4) y (1_2_5_6) tienen números en común, el número 1 y el número 2. Para que el producto de dos ciclos sea conmutativo, se requiere que no tengan números en común. En general, se dice que los ciclos en una colección de productos de ciclos son disjuntos si no tienen números repetidos. Así, los ciclos (1_4_8_9) y (2_4_7_9) no son disjuntos (tienen los números 4 y 9 en común) y por lo tanto el producto de los mismos no será conmutativo, mientras que los ciclos (1_3_5_8) y (1_2_4) sí son disjuntos y por lo tanto sus productos serán conmutativos. Los ciclos disjuntos siempre son conmutativos porque operan en subconjuntos disjuntos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ... , n}.

Ahora aprenderemos la manera de poder escribir una permutación como un producto de ciclos disjuntos. Considérese la siguiente permutación del grupo S8:


Empezamos con el número 1 y le seguimos el rastro para ver qué sucede con el 1 y sus imágenes sucesivas. Vemos que:

1 → 2 → 4 → 1

así que empezamos escribiendo nuestro primer ciclo (1_2_4). Ahora tomamos el siguiente número que no haya sido utilizado, que en este caso es el 3, y le seguimos el rastro para ver qué sucede con el 3 y sus imágenes sucesivas. Encontramos que:


3 → 5 → 7 → 3

con lo cual escribimos nuestro segundo ciclo como
(3_5_7). Nuevamente, tomamos el siguiente número que no haya sido utilizado, en este caso el 6, y le seguimos el rastro, encontrando que:


6 → 8 → 6

con lo cual se podemos escribir el último ciclo como (6_8). Agotados los números, podemos escribir en notación cíclica la permutación original como:


(1_2_4)(3_5_7)(6_8)

Este ejemplo puede ser generalizado con el siguiente

Teorema: Cualquier permutación con un conjunto finito de elementos siempre se puede escribir como un producto de ciclos disjuntos.

Sabiendo cómo representar permutaciones mediante la notación cíclica, podemos construír una “tabla de multiplicar” para resumir las operaciones combinadas dentro de un grupo de permutación que de otra manera no sería fácil de construír, el grupo simétrico de permutación S3, en donde la letra “S” significa precisamente “simétrico” y el número 3 representa el número de objetos que generan al grupo, el cual consta de (3)(2)(1)=6 elementos en total (si nos referimos a este último dato como el orden del grupo para ser “elegantes”, escribiríamos |S3|=6), empezando con el elemento identidad que en notación cíclica se representa simplemente como (1):

(1)

(1_2_3)

(1_3_2)

(1_2)

(1_3)

(2_3)

Este es precisamente el grupo de permutación que describe todas las permutaciones posibles en las tres piezas (el alfil, la torre y el caballo) del ejemplo que vimos en nuestro tablero de ajedrez. La “tabla de multiplicación” será la siguiente:




Obsérvese que dentro de la “tabla de multiplicar” para el grupo de permutación S(3), también representado en la literatura como S3, se ha destacado un subgrupo. Este es un subgrupo conocido como el grupo A(3) -también identificado frecuentemente como A3- y es nuestro primer ejemplo de un grupo alternante de permutación, en donde la letra “A” significa precisamente “alternante” y el número que le sigue indica el número de elementos que generan a dicho grupo. Los grupos alternantes son aquellos que consisten únicamente de todas las permutaciones que llamamos pares, lo cual será el tema de estudio de la siguiente entrada.

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