miércoles, 14 de diciembre de 2011

Las series de composición



Imaginemos por un momento que dentro de la “tabla de multiplicar” de cierto grupo que llamaremos G existe un subgrupo que identificaremos como G4. Imaginemos ahora que ese subgrupo contiene dentro de sí otro subgrupo que identificaremos como G3. Imaginemos que ese subgrupo G3 contiene a su vez un subgrupo G2, y que este subgrupo contiene otro subgrupo que dominaremos G1. Este subgrupo G1, el más pequeño de todos, ciertamente debe contener lo que podemos llamar el “grupo trivial”, el grupo de un solo elemento, el elemento identidad I. Este “anidamiento” de grupos puede ser representado visualmente de la siguiente manera (la representación es reminiscente de los diagramas de Venn que se usan en el estudio de la teoría de los conjuntos, excepto que aquí se usan rectángulos y no círculos para resaltar la naturaleza de las “tablas de multiplicación” que están detrás de cada subgrupo):


Si además de estar anidados de esta manera estos subgrupos uno dentro del otro:

G1 es un subgrupo normal de G2
G2 es un subgrupo normal de G3
G3 es un subgrupo normal de G4
G4 es un subgrupo normal de G

entonces tenemos lo que se llama una serie de composición.

Representemos al grupo principal como G y a los subgrupos normales de G como Hi, en orden descendiente, suponiendo que hay n subgrupos normales dentro de G. El subgrupo normal más pequeño será el elemento identidad I.



Hemos llegado a uno de los temas centrales de la Teoría de Grupos que puede considerarse como uno de los más importantes, si acaso no el más importante. Todo lo que hemos construído en las secciones anteriores nos ha hecho llegar a esto.

La razón por la cual una serie de composición es tan importante es que un grupo es soluble si tiene una serie de composición. Si un grupo dado carece de una serie de composición, entonces el grupo no es soluble. Es algo en cierta forma similar (aunque no lo mismo) a lo que ocurre en aritmética: si un número es un número primo, entonces ese número no se puede descomponer en el producto de otros dos enteros más sencillos; tratar de factorizar un número primo en dos enteros es una proposición irresoluble porque no hay forma de hacer tal cosa. Del mismo modo, si no podemos “factorizar” un grupo en una serie de composición, si no se puede “descomponer” en factores más sencillos, entonces tal grupo es un grupo que podríamos llamar “atómico”.

Una vez que hayamos definido los grupos Galois, se tendrá un atisbo del por qué el hecho de que cierto grupo G se pueda descomponer o no en otros “factores” más sencillos, en una serie de subgrupos anidados que formen una serie de composición, impacta directamente sobre la posibilidad de que se pueda encontrar una fórmula general para resolver ecuaciones de quinto grado en adelante. Y no es lo único que impactan las series de composición. La resolución de este problema clásico del álgebra no fue más que el primer triunfo importante de una larga cadena de éxitos que abarcan las más diversas disciplinas científicas. Todo aquél que quiera hacer avanzar su área de estudio deberá aplicarse diligentemente al estudio de la teoría de grupos, al lenguaje de la simetría, porque la alternativa es quedarse atascado con pocas posibilidades de avance.