La imposibilidad de una fórmula quíntica

El primer intento para confirmar las sospechas sobre la imposibilidad de obtener una fórmula general para una ecuación cualquiera de quinto grado fue llevado a cabo por Paolo Ruffini (1765-1822). Aunque sus intentos por demostrar tal cosa resultaron incompletos, logró desarrollar los primeros argumentos convincentes que señalaron que la ecuación general de quinto grado no puede tener solución alguna en radicales anidados (factores lineales de las raíces tales como x-x₁ y x-x₂) para los cuales los valores intermedios fuesen polinomios en x₁, x₂, etc. El trabajo de Ruffini sobre la imposibilidad de resolver la ecuación general de quinto grado mediantes radicales apareció entre 1799 y 1813. La prueba completa sobre esta imposibilidad fue dada en 1826 (sin recurrir a la teoría de grupos que todavía no existía y aplicable únicamente a las ecuaciones de quinto grado) por el matemático danés Niels Henrik Abel (1802-1829), cuya demostración contiene una prueba de que si una solución en radicales para una ecuación general de quinto grado fuese posible, entonces los pasos intermedios en la solución podían ser siempre reacomodados (¡permutados!) de tal manera que todas las expresiones intermedias fuesen polinomios en los valores x₁, x₂, etc.

Es aquí cuando hace su aparición Evariste Galois, el "padre de la teoría de grupos", asesinado en un duelo estúpido cuando tenía apenas 20 años de edad. Existen pocas dudas de que Galois fue inspirado por un tratado de Joseph Louis Lagrange (1736-1813), el inventor de la mécanica Lagrangiana (la cual sería complementada con la mecánica Hamiltoniana), un tratado titulado "Reflexiones sobre la resolución algebraica de las ecuaciones", escrito en 1771. Galois también tenía a su favor el hecho de que en su tiempo el "príncipe de los matemáticos" Carl Friedrich Gauss (1777-1785) había logrado demostrar formalmente lo que hoy se conoce como el teorema fundamental del álgebra. El teorema fundamental del álgebra nos dice que toda ecuación general de grado n tiene al menos una raíz que puede ser real o compleja (en un ejemplo sencillo, la ecuación cuadrática x²-4=0 tiene dos soluciones reales, x₁=2 y x₂=-2, mientras que la ecuación cuadrática x²+4 tiene dos soluciones imaginarias x₁=2i y x₂=-2i, en donde i es la raíz cuadrada de -1, la base de los números "imaginarios"). Si el teorema fundamental del álgebra nos dá la seguridad de que toda ecuación general de grado n tiene al menos una raíz, entonces dicha raíz se puede utilizar para "factorizar" la ecuación original obteniendo un polinomio de grado menor n-1. Pero a este polinomio de grado reducido le podemos aplicar nuevamente el teorema fundamental del álgebra que nos garantiza que el polinomio reducido tendrá a su vez por lo menos una raíz, con lo cual podemos llevar a cabo una segunda factorización, obteniendo un polinomio de grado n-2. De este modo, la aplicación sucesiva del teorema fundamental nos garantiza la existencia de n raíces para un polinomio cualquiera de grado n. Esto quiere decir que toda ecuación de la forma:

xⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + a_n-3x^n-3 +...+ a₁x + a₀ =0

podrá ser descompuesta en factores lineares:

(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄) ... (x-x_n) = 0

El teorema fundamental del álgebra no nos proporciona algún método o fórmula para obtener las raíces, únicamente nos garantiza que las raíces existen. Y como puede resultar que las raíces tal vez se puedan obtener aplicando alguna fórmula general a los coeficientes de la ecuación original en la que se haga uso de operaciones aritméticas usuales y extracción de raíces numéricas (cuadradas, cúbicas, etc.), también puede resultar que las raíces de la ecuación no se puedan obtener mediante fórmula alguna sobre los coeficientes. Pero si existe "en el mundo de lo posible" alguna fórmula general para resolver una ecuación de quinto grado, ello sólo se puede saber estudiando las relaciones de simetría que debe de haber entre las posibles soluciones. Es esta precisamente la razón por la cual Evariste Galois inventó la teoría de grupos.

Estamos ya en posibilidad de poder analizar la ecuación general de quinto grado con lo que hemos visto sobre lo que son los grupos matemáticos y la relación de estos con los patrones básicos de simetría, lo que es un grupo de permutaciones, lo que es un grupo factor, lo que es una serie de composición, lo que es un subgrupo normal, y lo que es un grupo Galois.

Repasemos la ecuación general de quinto grado:

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0

Si existe una fórmula general que nos permita obtener las soluciones (o las raíces) de esta ecuación general de quinto grado, entonces dicha fórmula debe servir para casos especiales en los cuales uno o algunos de los coeficientes sean cero, ecuaciones tales como:

Con a=0:

bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0

Con a=0 y c=0:

ax⁴ + dx² + ex + f = 0

Con a=0, c=0, d=0 y e=0:

bx⁴ + dx² + ex + f = 0

Con b=o, c=0 y e=0:

ax⁵ + dx² + f = 0

Puesto de otra manera, la fórmula general que buscamos para poder resolver una ecuación de quinto grado debe tener la potencia suficiente para poder resolver todas las ecuaciones algebraicas como las siguientes:

5x⁵ + 3x⁴ - 2x³ + 7x² + 8x - 40 = 0

2x⁵ + 3x² - 4x + 9 = 0

x⁵ - 9x + 15 = 0

Los anteriores ejemplos son los casos especiales a los cuales se debe reducir la fórmula general cuando uno o más de los coeficientes sean cero. Pero aunque sean "casos especiales", necesariamente deben caer dentro de los poderes de la "fórmula general", porque si la fórmula no nos sirve aunque sea para uno solo de dichos casos especiales, entonces la fórmula está incompleta, o mejor dicho, no sirve como fórmula general, no es una fórmula general. Lo que hemos expuesto está en pleno acuerdo con lo que ya se sabe sobre muchas ecuaciones algebraicas: para ciertos casos especiales se puede encontrar sin dificultad alguna fórmulas que resuelvan esos casos especiales. Pero entonces ya no estamos hablando de una fórmula general. Por ejemplo, la siguiente ecuación:

bx⁴ + dx² + f = 0

de la cual un ejemplo sencillo es, con b=1, d=-5 y f=4:

x⁴ - 5x² + 4 = 0

se puede resolver de una manera muy sencilla por una simple sustitución de variables. Basta con hacer x² igual a m para tener:

bm² + dm + f = 0

que es una ecuación cuadrática para la cual ya tenemos una fórmula. En este caso, al aplicar la fórmula cuadrática obteniendo primero dos soluciones, después al hacer nuevamente la sustitución de variables m=x² obtendremos cuatro raíces resultantes de los signos positivo y negativo de la nueva raíz cuadrada que ha resultado. Hagamos esto para el ejemplo arriba mostrado:

m² - 5m + 4 = 0

(m - 1)(m -4) = 0

Tenemos dos raíces para m. Pero como m=x², al sacar la raíz cuadrada para cada una de estas dos raíces tendremos una raíz positiva y una raíz negativa en cada caso, cuatro soluciones que corresponden a esta ecuación de cuarto grado:

x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = 2, x₄ = -2

Pero se repite nuevamente aquí que la solución exitosa de varios casos especiales no implica que se tenga a la mano una fórmula general, porque la fórmula general debe ser capaz de resolver no sólo algunos casos especiales sino todos los casos posibles.

Como puede verse, para todas las combinaciones posibles de coeficientes en los que se pueda tener por lo menos un coeficiente cuyo valor sea cero, tenemos una buena cantidad de combinaciones disponibles. Cada combinación de coeficientes producirá una fórmula distinta, y cada una de estas fórmulas tendrá su propio grupo Galois. Puesto que, históricamente hablando, todas las ecuaciones desde el primer grado hasta el cuarto grado habían logrado ser resueltas ante de que Galois hiciera su aparición en el escenario, y puesto que la condición necesaria para una ecuación sea soluble mediante fórmula es que su grupo Galois también sea soluble, con esto sabemos ya de antemano que todos los grupos Galois que correspondan a las ecuaciones desde el primer grado hasta el cuarto tendrán grupos de Galois solubles, los cuales deberán ser necesariamente subgrupos del grupo Galois que corresponda a la ecuación de quinto grado.

En su trabajo histórico, Galois dijo lo siguiente: "Haré la observación primero de que para poder resolver una ecuación es necesario reducir su grupo sucesivamente hasta que contenga únicamente una permutación. Porque, cuando una ecuación es resuelta, una función cualesquiera de sus raíces (las soluciones de la ecuación) resultará conocida, aunque no permanezca invariante bajo cualquier permutación".

Galois hace también la siguiente observación importante: "En cualquier caso, después de cierto número finito de extracciones de raíces (soluciones de la ecuación) el grupo (grupo de Galois) debe encontrarse disminuído porque de otra manera la ecuación no será soluble".

Ahora bien, para la ecuación general de quinto grado, existen ecuaciones (casos "especiales") para los cuales el grupo de Galois es el grupo de permutaciones de cinco soluciones, o sea S₅. Sin embargo, S₅ es un grupo que no es soluble, porque resulta que uno de los factores de composición tiene un valor de 60, el cual no es un número primo:

60 = (5)(3)(2)(2)(1)

Entonces la ecuación general de quinto grado tiene el "grupo equivocado" de Galois, su "perfil de simetría" no es el adecuado. Esto concluye la demostración de que la ecuación general de quinto grado no es soluble mediante una fórmula general. Con esto no tiene caso ya tratar de saltar hacia una ecuación general de sexto grado, porque basta con hacer su primer coeficiente cero para que dicha ecuación general de sexto grado se convierta en una ecuación general de quinto grado, la cual como vimos no tiene solución mediante fórmula general porque su grupo Galois tampoco es soluble, y entonces la ecuación general de sexto grado tampoco la tendrá. Lo mismo se puede decir de la ecuación general de séptimo grado, de la de octavo grado, y todas las que les siguen. El resultado lo podemos enunciar del siguiente modo que puede parecer contundente:

Ninguna de las ecuaciones algebraicas de quinto grado en adelante son solubles mediante una fórmula general.

Veamos ahora el argumento central en mayor detalle, tal y como está basado en la teoría de los grupos creada por Evariste Galois y usada para demostrar la imposibilidad de que exista una fórmula general para resolver una ecuación de quinto grado llevando a cabo las operaciones elementales de aritmética de suma, resta, multiplicación y división así como la extracción de raíces numéricas (cuadrada, cública, cuarta, etc.) sobre los coeficientes de la ecuación. Primero aplicaremos nuestra cadena de razonamientos a la ecuación cúbica que sabemos que sí es soluble.

Para el caso de la ecuación cúbica general, existen coeficientes a, b, c y d tales que el grupo Galois de la ecuación:

ax³ + bx² + cx + d = 0

es el grupo de permutación S(3).

El subgrupo normal maximal de S(3) es A(3). Y el subgrupo normal maximal de A(3) es el elemento identidad I, formando la siguiente serie de composición:

S(3) -- A(3) -- I

El grupo de permutación S(3) consta de 3!=(3)(2)(1)= 6 elementos, y el grupo alternante A(3) consta de 3 elementos, los cuales se muestran "a ojo de pájaro" en el Suplemento # 2 de esta obra que reproduce una representación publicada por la revista Scientific American en donde los elementos de S(3) son mostrados en color negro y los elementos de A(3) son mostrados en color rojo. Ahora bien, el orden de |S(3)/A(3)| es:

|S(3)/A(3)| = 3!/3 = (3)(2)(1)/3 = 6/3 = 2

y el orden de |A(3)/I| es:

|A(3)/I| = 3/1 = 3

Puesto que 2 y 3 son números primos, el grupo de permutación S(3) es soluble, y por lo tanto el grupo Galois de la ecuación cúbica general es soluble, y si el grupo Galois de la ecuación cúbica general es soluble, la ecuación cúbica general también será soluble por radicales; esto es, existe una fórmula general o un conjunto de fórmulas generales en función de los coeficientes a, b, c y d que pueden resolver la ecuación cúbica, como lo descubrieron los matemáticos italianos Tartaglia y Cardano.

Para el caso de la ecuación general de cuarto grado (llamada también cuártica o bicuadrática), el enunciado es similar: existen a, b, c, d y e tales que el grupo Galois de la ecuación:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

es el grupo de permutación S(4) -o S₄-. El lector puede aplicar aquí lo que ya sabe para demostrar que la ecuación general de cuarto grado también es soluble por radicales, como lo descubrió el matemático italiano Ludovico Ferraro.

Para el caso de la ecuación general de quinto grado, existen a, b, c, d y e tales que el grupo Galois de la ecuación:

ax⁵ + bx³ + cx² + dx + e = 0

es el grupo de permutación S(5).

El subgrupo normal maximal de S(5) -o S₅- es A(5). Y el subgrupo normal maximal de A(5) es el elemento identidad I, formando la siguiente serie de composición:

S(5) -- A(5) -- I

El grupo de permutación S(5) consta de 5!=(5)(4)(3)(2)(1)= 120 elementos, y el grupo alternante A(5) consta de 60 elementos, los cuales se muestran "a ojo de pájaro" en la representación que aparece en el Suplemento # 2 de esta obra en donde los elementos de S(5) son mostrados en color negro y los elementos de A(5) son mostrados en color rojo (recomiendo fuertemente a mis lectores la fotografía). Ahora bien, el orden de |S(5)/A(5)| es:

|S(5)/A(5)| = 5!/(5!/2) = 120/60 = 2

y el orden de |A(3)/I| es:

|A(5)/I| = (5!/2)/1 = (5)(4)(3)(2)(1)/1 = 60/1 = 60

Aunque 2 es un número primo, 60=(5)(3)(2)(2)(1) no lo es. Puesto que 60 no es un número primo, el grupo de permutación S(5) no es soluble, por lo cual el grupo Galois de la ecuación general de quinto grado tampoco lo es. Se concluye que la ecuación general de quinto grado no es soluble por radicales.

Existe una interpretación geométrica del por qué la ecuación general de quinto grado no es soluble por radicales: el grupo de permutación S(5) es también el grupo del icosaedro.