Subgrupos

Muchos grupos están contenidos dentro de grupos mayores. El grupo de rotaciones del cuadrado forma parte del grupo de todas las simetrías del cuadrado. El grupo de rotaciones y el grupo de reflexiones del triángulo equilátero están contenidos dentro del grupo de todas las simetrías posibles del triángulo equilátero. Estos “sub” grupos no están limitados a las operaciones que surgen en las operaciones de simetría llevadas a cabo sobre figuras geométricas planas o sólidas, es algo que surge de forma natural dondequiera que haya algo relacionado con algún tipo de simetría.

Algunas veces, dentro de una "tabla de multiplicar", es posible detectar un "sub" grupo dentro del grupo principal. Considérese la siguiente tabla en la que se ha definido r³=I y en la que se ha destacado un bloque de elementos:

-- subgrupo 1

Los elementos que pertenecen a este bloque cumplen con todos los tres requisitos para que sea clasificado como un grupo. El elemento identidad I está allí, se puede comprobar que la propiedad asociativa se cumple para todas las combinaciones posibles de elementos, y cada uno de los elementos dentro del bloque tiene su inverso. Este elemento más pequeño dentro del grupo original es clasificado efectivamente como un subgrupo.

¿Hay algún otro subgrupo dentro de la tabla?

A primera vista, esto no parece así. Sin embargo, sí hay otro subgrupo dentro de la tabla, pero para destacarlo hay que destacar los elementos del otro subgrupo con otro color:

-- subgrupo 2

Esquemáticamente, podemos representar a un grupo G que contenga a dos o más subgrupos de la siguiente manera:

En este ejemplo, el grupo G contiene dos subgrupos A y B. Obsérvese que tanto el subgrupo A como el subgrupo B contienen necesariamente por lo menos un elemento en común: el elemento identidad I. Este elemento siempre es común tanto al grupo principal como a los subgrupos que contenga.

La generalización de la definición de un grupo hacia un subconjunto de sus elementos como subgrupo se puede enunciar como un

Teorema: Sea G un grupo y sea H un subconjunto de elementos de dicho grupo. Entonces H será un subgrupo de G si y solo si:

(1) Para dos elementos cualesquiera x y y del subgrupo, la operación binaria * producirá un elemento que también formará parte del subgrupo.

(2) El subgrupo posee el elemento identidad I.

(3) Dentro del subgrupo cada elemento tiene su inverso.

Obsérvese que en las tres condiciones necesarias para que un conjunto de operaciones (elementos) pueda ser clasificado como un subgrupo no es necesario especificar una cuarta condición requiriendo que se cumpla la propiedad asociativa, ya que si los elementos del conjunto H provienen todos ellos de un grupo G en el que se cumple dicha propiedad, entonces los elementos de H también la heredarán.

Para que lo anterior pueda ser admitido en una publicación científica reconocida, se requiere presentar lo mismo que se ha dicho arriba usando un lenguaje más formal, más compacto, cargado con más símbolos y con letras más rebuscadas, presentando un aspecto más profesional que al mismo tiempo sea más obscuro para los no-profesionales, de una manera como la siguiente:

No se espante nadie que con cosas como esta cueste mucho trabajo tratar de convencer a los jóvenes de hoy que prosigan con una carrera en las matemáticas.

El procedimiento para detectar subgrupos dentro de un grupo principal G puede convertirse en un asunto laborioso conforme va aumentando el número de elementos del grupo principal. Si tenemos un grupo tal como el grupo G={I,a,b,p,r,s,t,x,y} y tenemos su "tabla de multiplicar", entonces tenemos muchas combinaciones posibles de elementos que potencialmente podrían constituír subgrupos, tales como:

H = {I, a, b}

H = {I, p, r, s, t}

H = {I, x, y}

H = {I, a, b, p, r, s, t}

H = {I, a, b, x, y}

En todos estos casos, además de que cada subgrupo H debe ser un grupo "completo" en el sentido de que ninguna operación binaria debe generar elemento alguno que no forme parte del subgrupo H, cada elemento del subgrupo tiene que tener un inverso dentro del mismo con el cual produzca el elemento identidad I. La verificación del cumplimiento de la propiedad asociativa no es tan importante en virtud de que si todos los elementos de un subgrupo H provienen de un grupo G en el cual cumplen la propiedad asociativa, entonces los elementos del subgrupo también la deberán de cumplir. En la búsqueda de subgrupos dentro de un grupo G, frecuentemente ayuda conocer el origen del grupo. Por ejemplo, si se trata del grupo de simetrías del triángulo equilátero, entonces podemos sospechar de que este grupo contiene por lo menos dos subgrupos: el grupo de rotaciones con respecto al centro de simetría del triángulo equilátero, y el grupo de reflexiones del triángulo. Y si se trata de grupos más complicados, puede resultar útil el intentar establecer alguna correspondencia de dichos grupos con grupos propios de figuras geométricas planas o sólidas en las cuales podamos visualizar a dichos subgrupos. En otras ocasiones, bastará con inspeccionar cuidadosamente la “tabla de multiplicar” de un grupo para detectar uno o varios subgrupos dentro de la misma. Desafortunadamente, la detección de los subgrupos dentro de un grupo mayor por mera inspección visual es una herramienta que requiere algo de intuición, la cual va perdiendo su valor conforme el tamaño de la tabla va aumentando. Para tablas muy grandes, no queda más remedio que recurrir a una computadora y utilizando un lenguaje simbólico darle a la computadora la tarea de encontrar todos los subgrupos que pueda haber dentro de un grupo mayor, lo cual puede ser una tarea intensiva en tiempo de cómputo hasta para una supercomputadora poderosa. Aunque resulta decepcionante el tener que confiar en una computadora para lograr la confirmación de un resultado importante o la demostración de un teorema, hay que aceptar esto como un hecho inevitable de la vida cuando la naturaleza del problema es tal que un humano haciéndolo todo sin el auxilio de una computadora requeriría de varias vidas para poder completar la tarea. Como motivo de interés histórico, se citará aquí que el primer teorema en ser demostrado por una computadora fue el concerniente a la famosa conjetura de los cuatro colores (bastan tan solo cuatro colores para poder pintar cualquier mapa sin que dos naciones compartan jamás una frontera con el mismo color), el cual fue resuelto por vez primera en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en la Universidad de Illinois. Esta demostración no es aceptada por muchos matemáticos hoy en día porque requiere tener fé en una máquina, en la infalibilidad de su compilador (el programa que convierte las instrucciones humanas en lenguaje de máquina) y el “hardware” que se está utilizando. Hasta la fecha, nadie ha podido presentar una prueba alterna que no requiera del uso de una máquina para poder llevar a cabo la demostración en un tiempo razonable.