Una clave fundamental para demostrar que no es posible encontrar, ni siquiera en principio, una fórmula general para resolver ecuaciones de quinto grado en adelante mediante operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces (cuadradas, cúbicas, etc.) llevadas a cabo sobre los coeficientes de la ecuación quíntica es el descubrimiento de Galois de que cada ecuación algebraica tiene su propio “perfil de simetría”. Galois logró asociar con cada tipo de ecuación una especie de “código genético” para dicha ecuación, el grupo Galois de la ecuación. Antes de proseguir adelante, debemos darnos primero una idea clara de lo que es el grupo Galois de una ecuación.
Partiendo de un polinomio, es posible que algunas de las raíces del polinomio estén conectadas por medio de varias ecuaciones algebraicas. Considérese la ecuación cuadrática:
ax² + bx + c = 0
Dividiendo todo entre el coeficiente “a”, la ecuación cuadrática toma el siguiente aspecto:
x² + (b/a) x + (c/a) = 0____(1)
Como la ecuación cuadrática tiene dos raíces x1 y x2, podemos expresar la ecuación original de la siguiente manera:
(x - x1)(x - x2) = 0
Multiplicando esto para eliminar los paréntesis, obtenemos:
x² -(x1 + x2)x + x1 x2 = 0____(2)
Igualando (1) y (2) se tiene de inmediato:
x1 + x2 = b/a
x1 x2 = -c/a
A manera de ejemplo, si la ecuación cuadrática es:
x² - 4x + 1 = 0
entonces tendrá las siguiente soluciones A y B:
Y en este caso:
A + B = 4
AB = 1
Este par de ecuaciones tiene coeficientes racionales. No hay raíces cuadradas o cúbicas o de tipo alguno en dichas expresiones.
Una cosa destaca en este último resultado. Si intercambiamos las raíces A y B en el ejemplo (o x1 y x2 en el caso general), la ecuación A+B.=.4 se convierte en la ecuación B+A.=.4 y la ecuación AB.=.1 se convierte en la ecuación BA.=.1. Ambas ecuaciones permanecen iguales tras el intercambio. Ambas son ejemplos de lo que llamamos polinomios simétricos. Ejemplos de polinomios simétricos son los siguientes:
P(A, B) = A4 + B4 + 4A²B²+ 60
P(A, B, C) = A3 + B3 +C3 - AB - BC - AC
P(A, B, C, D) = A² + B² + C² + D² - ABCD
En cambio, el siguiente no es un polinomio simétrico:
P(A,B) = A - B
porque si intercambiamos A y B, obtenemos un polinomio distinto:
P(B,A) = B - A
Se concluye que el grupo Galois del polinomio x²-4x+1 consiste de dos permutaciones: la permutación identidad que deja a A y a B intactos, y la permutación de transposición que intercambia a A y a B. Este es un grupo cíclico de orden 2 (contiene dos elementos).
En general, para cualquier ecuación cuadrática, si dicha ecuación tiene únicamente una raíz, como la ecuación:
x² - 6x + 9 = (x - 3)² = 0
entonces su grupo Galois es trivial, ya que contiene únicamente la permutación identidad. Si la ecuación cuadrática tiene dos raíces racionales distintas, como la ecuación:
x² - 7x +10 = (x -2)(x - 5) = 0
entonces su grupo Galois también será trivial, contendrá únicamente la permutación identidad. En cambio, si la ecuación contiene dos raíces irracionales (incluyendo el caso de raíces con números imaginarios o complejos), como la que vimos al principio:
x² - 4x + 1 = 0
entonces el grupo Galois de dicha ecuación cuadrática contendrá dos permutaciones. Como este es un grupo de orden 2 y uno de los elementos es el elemento identidad, mis lectores ya saben cómo construír la tabla para este tipo de grupo.
El procedimiento anteriormente mostrado para obtener dos relaciones matemáticas distintas entre las dos raíces de una ecuación cuadrática se puede generalizar para ecuaciones de grado mayor. Por ejemplo, considérese la ecuación cúbica general:
ax3 + bx² + cx + d = 0
Al igual que como lo hicimos en el caso de la ecuación cuadrática, podemos dividir todo entre el primer coeficiente para darle el siguiente aspecto:
x3 + (b/a)x² + (c/a)x + (d/a) = 0___(3)
Como la ecuación cúbica general tiene tres raíces x1, x2, y x3, podemos expresar la ecuación original de la siguiente manera:
(x - x1)(x - x2)(x - x3) = 0
Multiplicando esto para eliminar los paréntesis, obtenemos:
x3 -(x1 + x2 + x3)x² + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3)x - x1 x2 x3 = 0____(4)
Igualando (3) y (4) se tiene de inmediato:
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = c/a
x1 x2 x3 = -d/a
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = c/a
x1 x2 x3 = -d/a
Hablando en términos generales, el teorema fundamental del álgebra garantiza la existencia de n raíces (reales o complejas) para una ecuación de grado n (aunque no dá ninguna pista sobre cómo tales raíces puedan ser encontradas). En realidad, el teorema garantiza la existencia de por lo menos una raíz x1, pero al factorizar (x-x1) de la ecuación original se obtiene una ecuación de un grado menor n-1 sobre la cual el teorema fundamental del álgebra puede ser aplicado nuevamente, lo cual dá una segunda raíz x2. La aplicación sucesiva del teorema garantiza por lo tanto la existencia de n raíces. Esto quiere decir que toda ecuación general de la forma:
xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 +...+ a1x + a0 =0
siempre puede ser descompuesta en factores lineares:
(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) ... (x-xn) = 0
como lo hemos venido haciendo.
Para la ecuación bicuadrática (esta es una expresión un poco pomposa para designar a las ecuaciones generales de cuarto grado), la expansión en función de sus cuatro raíces x1, x2, x3 y x4 presentará el siguiente aspecto:
x4 - (x1 + x2 + x3 + x4)x3 + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + x1 x4 + x2 x4 + x3 x4)x²
- (x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4)x
+ x1 x2 x3 x4 = 0
- (x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4)x
+ x1 x2 x3 x4 = 0
Este método general, que para un problema como “obtener una ecuación general cuyas raíces sean los números 1, 2, 3, 4 y 5” nos permite obtener rápidamente la ecuación:
x5 - 15x4 +85x35A -225x² +274x -120 = 0
fue desarrollado por Francois Viete en 1591 en su libro In artem analyticem isagoge.
Un teorema importante, formulado por el matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813), amplía de la manera siguiente lo que acabamos de ver:
Teorema fundamental de los polinomios simétricos: Todo polinomio simétrico en x1 , x1 ... xn es un polinomio en los polinomios simétricos elementales.
en donde los polinomios simétricos elementales tales como:
x1 + x2 + x3
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
x1 x2 x3
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
x1 x2 x3
son los coeficientes de la expansión:
(x - x1)(x - x2)(x - x3)
Puesto de otra manera, el teorema nos garantiza que todo polinomio simétrico puede ser expresado como un polinomio en los polinomios simétricos elementales. Tomemos a manera de ejemplo los siguientes dos polinomios simétricos que permanecen igual en forma si intercambiamos las literales x y y:
x² + y²
x3 + y3
x3 + y3
De acuerdo con el teorema fundamental de los polinomios simétricos, estos dos polinomios simétricos pueden ser expresados en función de polinomios simétricos elementales de la siguiente manera:
x² + y² = (x + y)² - 2xy = α² + ß²
en donde α y ß son polinomios simétricos elementales:
α = x + y
ß = -2xy
ß = -2xy
y, del mismo modo:
x3 + y3 = (x + y) -3xy(x + y) = α3 - 3αß
en donde α y ß también son polinomios simétricos elementales
α = x + y
ß = xy
ß = xy
El lector puede ejercitarse un poco representando el siguiente polinomio simétrico:
x² + y² + z²
en función de polinomios simétricos elementales.
Aunque este teorema fundamental de los polinomios simétricos fue enunciado por vez primera por Lagrange, aparentemente ya era conocido un siglo atrás por el científico inglés Sir Isaac Newton (1643-1727) junto con un procedimiento para representar los polinomios simétricos. De cualquier modo, Lagrange fue el primer en darse cuenta sobre las simetrías que resultaban al permutar las raíces de una ecuación. Este fue precisamente el punto principal de partida a partir del cual el creador de la teoría de grupos, Evariste Galois, estableciendo isomorfismos con los grupos de permutación S5 y A5, logró demostrar formalmente la imposibilidad de poder obtener una fórmula general para resolver una ecuación de quinto grado en adelante. Es posible que el mismo Lagrange habría podido resolver el problema, pero para ello necesitaba un concepto que aún no existía, un concepto que tenía que ser inventado por Evariste Galois, el concepto de los subgrupos normales.
¿Y qué podemos hacer en el caso de que un polinomio no sea simétrico? En tal situación, siempre podemos preguntarnos cuál es el conjunto de todas aquellas permutaciones de los índices de las raíces que dejen al polinomio igual. Es obvio que que este conjunto formará un grupo, llamado el grupo del polinomio. A manera de ejemplo, considérese el siguiente polinomio que a primera vista se nota que no es un polinomio simétrico:
x1 x2 + x3 x4
Si intercambiamos los subíndices 2 y 3, obtenemos una expresión diferente:
x1 x3 + x2 x4
Del mismo modo, si intercambiamos los subíndices 1 y 3, también obtenemos una expresión diferente a la expresión original:
x2 x3 + x1 x4
Sin embargo, las permutación de los subíndices 1 y 2, así como la permutación de los subíndices 3 y 4, dejan al polinomio igual. Estas dos permutaciones son entonces las que constituyen el grupo de este polinomio.
Repasemos ahora el siguiente polinomio simétrico elemental:
x1 + x2 + x3
Puesto que el grupo de permutación S3 -también conocido como S(3)- incluye todas las permutaciones posibles de x1, x2 y x3 para esta expresión, se dice que dicho polinomio es invariante bajo S3.
Se puede demostrar que el valor numérico de x1 + x2 + x3 formado por las raíces de cualquier ecuación de tercer grado con coeficientes racionales (expresables en forma de cocientes de enteros) será también un número racional. Asimismo, el valor obtenido mediante otros polinomios formados con las raíces de una ecuación pueden ser racionales para algunas ecuaciones e irracionales para otras, dependiendo del valor numérico de los coeficientes de la ecuación. Si el valor de una función tal es racional, entonces existe un grupo de permutaciones de las raíces x1, x2 y x3 que no cambian el valor de la función. El grupo Galois de una ecuación es el mayor grupo de permutaciones que cumple con este requerimiento para cualquier función polinómica racional de las raíces. Para cualquier función polinómica de las raíces que tenga un valor racional, cada permutación en el grupo Galois de la ecuación dejará ese valor inalterado. Puesto de otra manera, cuando la permutación de las raíces en el polinomio no cambia el valor de cualquier función polinómica de las raíces, las raíces son indistinguibles para dicha permutación. Así, entre mayor sea el número de elementos de un grupo Galois, tanto más permutaciones habrá para las cuales las raíces serán indistinguibles. Por esta razón el grupo Galois es una manera efectiva de representar las propiedades de simetría de una ecuación.
A continuación trataremos de determinar el grupo Galois de una ecuación un poco más elaborada que la ecuación general cuadrática que vimos previamente:
x4 - 10x² + 1 = (x² - 5)² - 24 = 0
Esta ecuación de cuarto grado tiene cuatro raíces:
Existen (4)(3)(2)(1) = 24 maneras diferentes de poder permutar estas cuatro raíces. Sin embargo, no todas estas permutaciones serán miembros del grupo Galois de la ecuación cuártica por ser incapaces de mantener la simetría bajo un intercambio. Los miembros del grupo Galois deben ser capaces de preservar cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales que involucren a A, B, C y D. Una de tales ecuaciones es:
A + D = 0
ya que si intercambiamos A y D obtendremos lo mismo:
D + A = 0
En cambio, la permutación:
(A, B, C, D) → (A, B, D, C)
no está permitida, ya que transforma la relación válida A+D=0 en una relación no-válida, la relación A+C=0, puesto que:
Otra relación que satisfacen las raíces es:
(A + B)² = 8
Esta relación permite eliminar de la lista de candidatos a otras permutaciones tales como:
(A, B, C, D) → (A, C, B, D)
Continuando de esta manera, tenemos que las únicas permutaciones que califican para ser incluídas en la lista como permutaciones válidas son (empezando con la permutación identidad que es la primera de la lista):
(A, B, C, D) → (A, B, C, D)
(A, B, C, D) → (C, D, A, B)
(A, B, C, D) → (B, A, D, C)
(A, B, C, D) → (D, C, B, A)
Este grupo de permutaciones, o mejor dicho este grupo Galois, es isomorfo al 4-grupo de Klein, el cual estudiamos en la entrada “Matemáticas sin números”. Recordemos cómo dicha tabla se obtuvo allí considerando todas las rotaciones posibles de 180 grados de los ejes coordenados (x,y,z). Allí la tabla era un asunto propio de la geometría analítica, aquí es un asunto propio de algo relevante a las ecuaciones algebraicas. ¿Puede pedirse mayor disparidad que esta? Esta amplia generalidad de la teoría de los grupos cuyas aplicaciones se extienden a cualquier área en donde haya viso alguno de simetría permite extender todos sus resultados, que son universales, hacia muchas aplicaciones diversas que no tienen absolutamente nada que ver entre sí excepto las relaciones de los grupos que las conectan. Esta enorme generalidad, esta enorme abstracción que elimina los detalles de las aplicaciones particulares para enfocarse en lo esencial, es lo que marca el inicio del álgebra abstracta moderna.
Con los ejemplos que hemos visto, podemos dar una idea del método de ataque para determinar el grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado n. Si la ecuación es de grado n, entonces tendrá n raíces que podemos llamar A, B, C, D, etc. Habrá un total de n! permutaciones posibles. Eliminamos de la lista todas aquellas permutaciones que rompan con la simetría que debe habe entre las relaciones posibles de dichar raíces. Una vez reducida la lista al mínimo, las permutaciones que sobrevivan como válidas serán las que determinen el orden del grupo.
Sabiendo ya lo que es el grupo Galois de una ecuación, podemos empezar a dirigirnos hacia la resolución del problema de determinar si es posible obtener alguna fórmula general para la resolución analítica (exacta) de ecuaciones de quinto grado en adelante. Evariste Galois pudo demostrar que las propiedades del grupo Galois de cada ecuación son las que determinan si la ecuación algebraica en cuestión se puede resolver o no mediante una fórmula. Esto se puede enunciar del modo más categórico posible de la siguiente manera:
La condición necesaria para que una ecuación algebraica sea soluble mediante una fórmula es que su grupo Galois también sea soluble.
Si el grupo Galois de una ecuación algebraica, si su "perfil de simetría" no es soluble, entonces tampoco lo será la misma ecuación mediante fórmula alguna que involucre operaciones aritméticas elementales.
¿Y exactamente qué es lo que significa el que un grupo Galois sea soluble o no? La definición de esto nos la dejó el mismo Galois. Galois llamó a un grupo soluble si cada uno de los factores de composición generados por sus subgrupos normales descendentes maximales es un número primo. Hablaremos más sobre esto llegado el momento.
Antes de Galois, si se quería saber si una ecuación se puede resolver o no mediante una fórmula, la táctica utilizada era tratar de resolver dicha ecuación, tratar de encontrar su fórmula general. Pero el trabajo de Galois demostró que esto era una ruta equivocada. Ciertamente, se sabía ya gracias al teorema fundamental del álgebra demostrado por Gauss que toda ecuación de grado n tiene necesariamente por lo menos una raíz. Pero como ya se dijo, este teorema no nos dice cómo podemos encontrar la raíz o las raíces de una ecuación, ya sea mediante una fórmula general o mediante algún artificio o truco que aún no ha sido descubierto. Si una fórmula general de resolución para cierta ecuación algebraica no existía, ni siquiera en principio, entonces todos los esfuerzos por resolverla estaban condenados de antemano al fracaso. Puesto que las propiedades del grupo de Galois de una ecuación están basadas en las propiedades de simetría de la ecuación, si el grupo de Galois no es soluble, la ecuación tampoco lo será mediante fórmula alguna. Así de fácil.
Dada la enorme importancia del concepto del grupo de Galois para asentar las propiedades de simetría de una ecuación algebraica, a continuación se irán señalando los grupos de Galois de varias ecuaciones para que el concepto quede claro antes de atacar el problema de la ecuación quíntica directamente.
al cual se le conoce hoy como el grupo Galois de una ecuación. Anteriormente, todas las ecuaciones algebraicas eran clasificadas por su grado (primer grado, segundo grado o cuadrática, tercer grado o cúbica, etc.). Pero Galois encontró que la simetría era una característica más importante.
Al igual que como en todos los grupos anteriormente estudiados, el grupo Galois de una ecuación también puede ser representado mediante una tabla finita. Por ejemplo, para la siguiente ecuación:
x5 - 5x +12
su "tabla de multiplicación" es la siguiente:
Obsérvese que el elemento identidad es el elemento “A”.
La importancia de la “tabla de multiplicar” para un grupo Galois es que siempre contiene la información necesaria para saber si la ecuación algebraica que representa es soluble por radicales.
Obtener el grupo Galois para una ecuación algebraica cualquiera generalmente no es un asunto fácil, aunque siempre se puede llevar a cabo sin necesidad de conocer los valores de las raíces de la ecuación. Sin embargo, tal cálculo no fue necesario para Evariste Galois, porque sólo necesitaba demostrar que hay ecuaciones de grado n cuyo grupo Galois es el grupo más grande posible de permutaciones de las raíces, o sea Sn, específicamente para el caso general de las ecuaciones de quinto grado.
